Explanation

(d)
$\frac{\ ^{8}C_{0}}{6} - \ ^{8}C_{1} + \ ^{8}C_{2} \bullet 6 - \ ^{8}C_{3} \bullet 6^{2} + \ldots + \ ^{8}C_{8} \bullet 6^{7}$
$= \frac{1}{6}\left\lbrack \ ^{8}C_{0} - 6\ ^{8}C_{1} + 6^{2}\ ^{8}C_{2} - 6^{3}\ ^{8}C_{3} + \ldots + 6^{8}\ ^{8}C_{8} \right\rbrack$
$= \frac{1}{6}\lbrack\left( 1 - {6)}^{8} \right\rbrack = \frac{5^{8}}{6}$