The product of matrices $A = \begin{bmatrix} \cos^{2} heta & {\cos heta\sin heta} \ \cos heta\sin heta & \sin^{2} heta \end{bmatrix}$and $B = \begin{bmatrix} \cos^{2}\phi & \cos\varnothing\sin\varnothing \ \cos\varnothing\sin\varnothing & \sin^{2}\varnothing \end{bmatrix}$ is a null matrix if $ heta - \phi =$

Question

The product of matrices $A = \begin{bmatrix} \cos^{2}	heta & {\cos	heta\sin	heta} \ \cos	heta\sin	heta & \sin^{2}	heta \end{bmatrix}$and $B = \begin{bmatrix} \cos^{2}\phi & \cos\varnothing\sin\varnothing \ \cos\varnothing\sin\varnothing & \sin^{2}\varnothing \end{bmatrix}$ is a null matrix if $	heta - \phi =$

Dr. Abubacker · Accepted Answer

(c)
$AB = \begin{bmatrix}
\cos^{2}	heta & \cos	heta\sin	heta \
\cos	heta\sin	heta & \sin^{2}	heta
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\cos^{2}\varnothing & \cos\varnothing\sin\varnothing \
\cos\varnothing\sin\varnothing & \sin^{2}\varnothing
\end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix}
\cos^{2}	heta\cos^{2}\varnothing + \cos	heta\cos\varnothing\sin	heta\sin\varnothing & \cos^{2}{	heta\cos\varnothing\sin\varnothing + \cos	heta\sin{	heta\sin^{2}\varnothing}} \
\cos	heta\sin	heta\cos^{2}\varnothing + \cos	heta\sin	heta\cos\varnothing\sin\varnothing & \cos	heta\cos\varnothing\sin	heta\sin\varnothing + \sin^{2}	heta\sin^{2}\varnothing
\end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix}
\cos	heta\cos\varnothing(\cos{(	heta - \varnothing)}) & \cos	heta\sin\varnothing\ (\cos{(	heta - \varnothing)}) \
\sin	heta\cos\varnothing(\cos{(	heta - \varnothing)}) & \sin	heta\sin\varnothing(\cos{(	heta - \varnothing)})
\end{bmatrix}$
$= (\cos{(	heta - \varnothing)})\begin{bmatrix}
\cos{	heta\cos\varnothing} & \cos{	heta\sin\varnothing} \
\sin	heta\cos\varnothing & \sin{	heta\sin\varnothing}
\end{bmatrix}$
Now, $AB = O \Rightarrow \cos{(	heta - \varnothing)} = 0 \Rightarrow 	heta - \varnothing = (2n + 1)\frac{\pi}{2,\ n \in Z}.$

Explanation

Reviewed by Dr. Abubacker

Want more practice?