Explanation

(b)
We have,
$\left| \begin{matrix}
y + \mathcal{z} & x & y \\
\mathcal{z +}x & \mathcal{z} & x \\
x + y & y & \mathcal{z}
\end{matrix} \right| = k\left( x + y + \mathcal{z} \right)\left( x - \mathcal{z} \right)^{2}$
LHS$= \left( x + y + \mathcal{z} \right)\left| \begin{matrix}
2 & 1 & 1 \\
\mathcal{z +}x & \mathcal{z} & x \\
x + y & y & \mathcal{z}
\end{matrix} \right|$ $(R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{2} + R_{3})$
$= \left( x + y + \mathcal{z} \right)\left| \begin{matrix}
1 & 1 & 1 \\
x & \mathcal{z} & x \\
x & y & \mathcal{z}
\end{matrix} \right|$
$= \left( x + y + \mathcal{z} \right)\{ 1\left( \mathcal{z}^{2} - xy \right) - 1\left( x\mathcal{z -}x^{2} \right) + 1\left( xy - x\mathcal{z} \right)\}$
$= \left( x + y + \mathcal{z} \right)(x^{2} + \mathcal{z}^{2} - 2x\mathcal{z)}$
$\Rightarrow \ \left( x + y + \mathcal{z} \right)\left( x - \mathcal{z} \right)^{2} = k\left( x + y + \mathcal{z} \right)\left( x - \mathcal{z} \right)^{2}$ (given)
$\Rightarrow k = 1$