Explanation

(d)
$\left| \begin{matrix}
a & b - y & c - \mathcal{z} \\
a - x & b & c - \mathcal{z} \\
a - x & b - y & c
\end{matrix} \right| = 0$
Applying $R_{2} \rightarrow R_{2} - R_{1}\ and\ R_{3} \rightarrow R_{3} - R_{2}$
$\Rightarrow \ \left| \begin{matrix}
a & b - y & c - \mathcal{z} \\
- x & y & 0 \\
0 & - y & \mathcal{z}
\end{matrix} \right| = 0$
$\Rightarrow a\left( y\mathcal{z} \right) + x\left( b\mathcal{z -}y\mathcal{z +}cy - y\mathcal{z} \right) = 0$
$\Rightarrow ay\mathcal{z +}b\mathcal{z}x + cyx = 2xy\mathcal{z}$
$\Rightarrow \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{\mathcal{z}} = 2$